Sự hữu hiệu quá thể của toán học trong khoa học tự nhiên

Biết là có tiếng anh nhưng rất hay. Ai muốn đọc có thể dùng googletranslate để đọc sơ sơ

Không biết blog KHMT hay một blog nào khác đã dịch bài viết nổi tiếng của Wigner ra tiếng Việt chưa,  “The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences”, mà tôi xin nôm na gọi là “Sự hữu hiệu quá thể của toán học trong khoa học tự nhiên”. Nguyên văn bài viết này ở đây . Wikipedia cũng có một entry riêng về bài này, trong đó có tóm tắt một số ý chính thú vị trong bài viết của Wigner, và các tranh luận sau đó. Khoa học tự nhiên ở đây chủ yếu là lấy thí dụ từ vật lý. Chỉ cần kiến thức năm hai về toán và lý là có thể hiểu hết được phần lớn các ví dụ của ông.  Rất đáng đọc và suy ngẫm.


Wigner viết bài này năm 60, khi Vật lý đang ở thời kỳ hoàng kim: Thuyết tương đối đã phát triến đầy đủ ở đầu thế kỷ 20, thuyết lượng tử sau đó vài thập niên. Các nhà vật lý vẫn còn đang rất tin tưởng sẽ có một lý thuyết mới khái quát được cả hai. Viết chữ “vẫn” nhưng rất run với các bác vật lý, hehe. Nhưng tôi đoán trong bụng các bác ấy rất cảm tạ trời đất là các bác ấy vẫn còn việc. Nếu có một lý thuyết cho mọi thứ ra đời thì thật là tai hại — các nhà Vật lý học phải chuyển hướng nghiên cứu sang các vấn đề ngoại cảm hết rồi.
Những lập luận quan sát của Wigner vẫn có giá trị đến tận ngày nay, dù khung cảnh của khoa học đã có nhiều thay đổi. Sự lên ngôi của sinh học, sinh học phân tử, genetics. Công nghệ, đặc biệt là công nghệ thông tin, cho phép chúng ta thu thập được dữ liệu với số lượng khổng lồ, và độ chính xác cao độ. Điều này, trong rất nhiều lĩnh vực, như trong sinh học phân tử và astronomy, làm thay đổi căn bản cách mà người ta làm khoa học.
Toán học là công cụ để chúng ta mô tả các quan hệ, các quy luật một cách chặt chẽ. Từ chối vai trò của toán học là từ chối một ngôn ngữ chung để nói chuyện một cách nghiêm túc. Toán của những năm 60 để mô tả các hiện tượng vật lý là giải tích hàm, giải tích phức và hình học Riemann. Ngày nay, vật lý đòi hỏi nhiều công cụ toán học đa dạng và sâu sắc hơn nữa. Với các ngành khoa học dựa vào dữ liệu, như sinh học, môi trường, v.v. thì xác suất thống kê trở thành ngôn ngữ không thể thiếu được. Không chỉ khoa học tự nhiên, mà cả khoa học xã hội và triết học cũng bắt đầu áp dụng các mô hình xác suất và các phương pháp học thống kê trong viêc thiết kế thí nghiệm, phân tích và dự báo cho các lý thuyết của mình.
Bài viết của Wigner tiếp tục có ý nghĩa, nếu “Natural sciences” được nới rộng ra thành “sciences”. Cái này thì chắc không có gì phải bàn. Nên chăng là nới rộng sciences theo “định hướng dân tộc” ra các môn khác như ngoại cảm, tướng số, phong thủy hay không. Toán học ngày nay, ngoài những thử mà Wigner đã nhắc, thì còn nhiều mảng khác, và do thiên vị nghề nghiệp, tôi không thể không nhắc lại vai trò to lớn của xác suất và thống kê, và khoa học máy tính — tất cả đều có thể là các công cụ quan trọng trong việc mô tả và đánh giá các hiện tượng trong tự nhiên, xã hội (và trong công nghệ nữa). Tách bạch toán và thống kê và KHMT ra để thấy vai trò tương hỗ của cả ba ngành này trong mọi lĩnh vực khoa học dựa vào nhiều dữ liệu: Toán học cho ta các cấu trúc để mô hình các quan hệ một cách chặt chẽ; lý thuyết thống kê cho ta gắn kết mô hình toán học với dữ liệu và giải thích tại sao điều đó có thể thực hiện được, còn KHMT cho công cụ để giải quyết vấn đề tìm tỏi mô hình như thể nào. Đây là công thức chung cho mọi ngành khoa học dự vào nhiều dữ liệu.
Bài viết này của Wigner tất nhiên có thể được thưởng thức từ góc độ của phái tự sướng trong toán học. Nó toát ra trong nhiều đoạn viết rất hùng hồn, và ngay cả ở cái tiêu đề của bài viết. Ví dụ (tô đậm là của NXL):

In fact, the definition of these (mathematical) concepts, with a realization that interesting and ingenious considerations could be applied to them, is the first demonstration of the ingeniousness of the mathematician who defines them. The depth of thought which goes into the formulation of the mathematical concepts is later justified by the skill with which these concepts are used. The great mathematician fully, almost ruthlessly, exploits the domain of permissible reasoning and skirts the impermissible. That his recklessness does not lead him into a morass of contradictions is a miracle in itself: certainly it is hard to believe that our reasoning power was brought, by Darwin’s process of natural selection, to the perfection which it seems to possess. However, this is not our present subject. The principal point which will have to be recalled later is that the mathematician could formulate only a handful of interesting theorems without defining concepts beyond those contained in the axioms and that the concepts outside those contained in the axioms are defined with a view of permitting ingenious logical operations which appeal to our aesthetic sense both as operations and also in their results of great generality and simplicity.

Nhưng cái nhìn đầy đủ nhất vẫn là ở góc độ của tính ứng dụng hữu hiệu đến kỳ diệu của toán học trong một lính vực khoa học cụ thể, ở đây là vật lý, dù tất cả chúng ta đều khiêm tốn ý thức được giới hạn của trí tuệ loài người trong việc khám phá tự nhiên. Ví dụ:

The world around us is of baffling complexity and the most obvious fact about it is that we cannot predict the future. Although the joke attributes only to the optimist the view that the future is uncertain, the optimist is right in this case: the future is unpredictable. It is, as Schrodinger has remarked, a miracle that in spite of the baffling complexity of the world, certain regularities in the events could be discovered. One such regularity, discovered by Galileo, is that two rocks, dropped at the same time from the same height, reach the ground at the same time. The laws of nature are concerned with such regularities. Galileo’s regularity is a prototype of a large class of regularities. It is a surprising regularity for three reasons….
….The preceding discussion is intended to remind us, first, that it is not at all natural that “laws of nature” exist, much less that man is able to discover them. [6 E. Schrodinger, in his What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, 1945), p. 31, says that this second miracle may well be beyond human understanding.] The present writer had occasion, some time ago, to call attention to the succession of layers of “laws of nature,” each layer containing more general and more encompassing laws than the previous one and its discovery constituting a deeper penetration into the structure of the universe than the layers recognized before. However, the point which is most significant in the present context is that all these laws of nature contain, in even their remotest consequences, only a small part of our knowledge of the inanimate world. All the laws of nature are conditional statements which permit a prediction of some future events on the basis of the knowledge of the present, except that some aspects of the present state of the world, in practice the overwhelming majority of the determinants of the present state of the world, are irrelevant from the point of view of the prediction. The irrelevancy is meant in the sense of the second point in the discussion of Galileo’s theorem.

Đọc Wigner với nhãn quan của một người làm thống kê rất thú vị, vì chỉ thay đổi vài câu chữ là ta có thể có những nhận xét tinh tế về cách thể hiện các mô hình xác suất, cách suy diễn thống kê, về vai trò của prior probability distributions. Ví dụ, đoạn trích đầu tiên ở trên ca ngợi sự sáng tạo đậm chất nghệ thuật của một nhà toán học, nhưng nó cũng có thể tìm được đồng cảm với những statistical modeler, những người tìm tòi sáng tạo ra các mô hình, các loại prior thú vị, dấu chưa biết cái prior này có thiết thức cho dữ liệu cụ thể nào. Một điều làm tôi rất kinh ngạc đến thích thú vì đã gặp phải nhiều lần, là hầu như bất kỳ một mô hình hay ho nào, nếu rất tinh tế và đẹp đẽ về mặt toán học, thì hầu như luôn có một ngữ cãnh thực tế mà chúng rất hữu dụng. Theo nghĩa nào đó, trí óc sáng tạo của chúng ta cũng khó lòng thoát khỏi ranh giời mà đấng sáng tạo đã định ra và cho hiện hữu. Chỉ có điều chúng ta chưa thấy và không bao giờ thấy được hết những hiện hữu ấy mà thôi. Còn trích dẫn thứ hai ở trên cũng gợi ra lý do tại sao ta có thể học được mô hình từ dữ liệu và dự báo tương lai, tại sao ta có thể cải thiện bởi kinh nghiệm…
Vài câu trích nổi tiếng cũng có những ý tương tự như trên:

The most incomprehensible thing about the universe is that it is comprehensible. — Albert Einstein
How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality? — Albert Einstein
“… if nature is really structured with a mathematical language and mathematics invented by man can manage to understand it, this demonstrates something extraordinary. The objective structure of the universe and the intellectual structure of the human being coincide.” – Pope Benedict XVI

 http://www.procul.org/blog/2010/10/31/the-unreasonable-effectiveness-of-mathematics-in-the-natural-sciences/